鈎刺なのでマミラリア属の可能性が高いのではないかと思います。
品種は・・・よく見かけるのは月影丸でしょうか。だとすると育てているうちに縦長気味になってくるのではないかと思います。
育て方は・・・サボテンの一般的な育て方でいいと思いますが・・・

返信ありがとうございます。
マミラリア属という情報を元にグーグル先生に聞いてみたところ、
月影丸か豊明丸のようでした。
どうも根腐れを起こしてしまったらしく、対応に困っているとのことでした。
いただいた情報を元に対応探してみます。
ありがとうございました。

根腐れを起こしているようでしたら、思い切って切断して、挿し木が良いかもしれません。
（「挿す」というよりは、切断面を赤玉土の上に「乗せる」感じになりますが）
ちゃんと切断面から発根しますよ。

根っこ側が生きていれば、しかる後に小さなサボテンができて、それぞれ成長を始めます。
で、その小さなサボテンを切り取って赤玉土に挿しておくと発根して自立させることも出来ます。

意外に簡単（サボテン本体の切断を除く^^;）なので、調べてみてください。

園芸書などには凝った栽培法が書かれているのかもしれませんが，
１）日当たり超良好
２）水はけが超良い土壌（ただの砂とかでOKですが，サボテン用鉢土なるものも売られています）
３）基本的に肥料は不要（下手に濃い液肥などやると，根がやられることがあります）
４）本当に大丈夫かなと思うくらい水やりの回数を少なく
の四点がポイントかと思います。

一般的な鉢物と同じ感覚で頻繁に水やりをすると，必ず根腐れを起こします。
水やりは今の時期なら一ヶ月に一回とかでもいいかもしれません。この植物は水の塊みたいなものですし，原産地も乾燥地で，水分が蒸散しにくいような肌をしているので，乾燥には強いです。
水をやる場合は，鉢の底から水が流れ出るまでかけて下さい。また鉢の下に受け皿を敷かないで下さい。

胴切りした場合（内部に腐れのないところまで切って下さい），切断面が完全に乾き切るまで日陰に転がしておいてから，用土の上に置くようにして下さい。
検索すればいろいろ情報が出てくるかと思います。